Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.16

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.16

Сформулировать утверждения:
1) lim⁡x→x0−0f(x)=a\lim_{x \to x_0 - 0} f(x) = a;
2) lim⁡x→x0+0f(x)=∞\lim_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty;
3) lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty;
4) lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.
Ответ:утверждения сформулированы\text{утверждения сформулированы}

Решение

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x0−δ<x<x0 ⇒ ∣f(x)−a∣<ε)\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \Bigl( x_0 - \delta < x < x_0 \ \Rightarrow\ |f(x) - a| < \varepsilon \Bigr).
∀E>0 ∃δ>0 ∀x (x0<x<x0+δ ⇒ ∣f(x)∣>E)\forall E > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ \Bigl( x_0 < x < x_0 + \delta \ \Rightarrow\ |f(x)| > E \Bigr).
∀E>0 ∃X ∀x (x<X ⇒ f(x)>E)\forall E > 0\ \exists X\ \forall x\ \Bigl( x < X \ \Rightarrow\ f(x) > E \Bigr).
∀E>0 ∃X ∀x (x>X ⇒ f(x)<−E)\forall E > 0\ \exists X\ \forall x\ \Bigl( x > X \ \Rightarrow\ f(x) < -E \Bigr).
Кудрявцев № 9.16 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика