Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.15

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.15

Доказать, что если на интервале (α;β)(\alpha; \beta), содержащем точку x0x_0, справедливы неравенства g1(x)≤f(x)≤g2(x)g_1(x) \le f(x) \le g_2(x), x≠x0x \ne x_0, и функции g1(x)g_1(x), g2(x)g_2(x) в точке x0x_0 имеют один и тот же конечный предел aa, то lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0} f(x) = a.

Доказательство

По условию lim⁡x→x0g1(x)=a\lim_{x\to x_0} g_1(x) = a, lim⁡x→x0g2(x)=a\lim_{x\to x_0} g_2(x) = a. Зафиксируем произвольное ε>0\varepsilon > 0. Для g1(x)g_1(x) найдётся δ1>0\delta_1 > 0, такое что при 0<∣x−x0∣<δ10 < |x - x_0| < \delta_1 выполняется ∣g1(x)−a∣<ε|g_1(x) - a| < \varepsilon, то есть g1(x)>a−εg_1(x) > a - \varepsilon. Для g2(x)g_2(x) найдётся δ2>0\delta_2 > 0, такое что при 0<∣x−x0∣<δ20 < |x - x_0| < \delta_2 выполняется ∣g2(x)−a∣<ε|g_2(x) - a| < \varepsilon, то есть g2(x)<a+εg_2(x) < a + \varepsilon. Возьмём δ=min⁡(δ1,δ2)>0\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0. Тогда для всех xx с 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta выполнены оба неравенства, и из условия g1(x)≤f(x)≤g2(x)g_1(x) \le f(x) \le g_2(x) следует a−ε<g1(x)≤f(x)≤g2(x)<a+εa - \varepsilon < g_1(x) \le f(x) \le g_2(x) < a + \varepsilon. Таким образом, ∣f(x)−a∣<ε|f(x) - a| < \varepsilon. Так как ε\varepsilon произвольно, получаем lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0} f(x) = a.

Что и требовалось доказать