Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.14

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.14

Доказать, что если функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет конечный положительный предел, равный aa, то существует такой интервал (α;β)(\alpha; \beta), содержащий точку x0x_0, что f(x)>a2f(x) > \dfrac a2 для всех x∈(α;β)x \in (\alpha; \beta), x≠x0x \ne x_0.

Доказательство

По условию lim⁡x→x0f(x)=a>0\lim_{x\to x_0} f(x) = a > 0. Возьмём ε=a2>0\varepsilon = \dfrac a2 > 0. По определению предела существует δ>0\delta > 0, такое что для всех xx с 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta выполняется ∣f(x)−a∣<a2|f(x) - a| < \dfrac a2. Из этого неравенства следует f(x)>a−a2=a2f(x) > a - \dfrac a2 = \dfrac a2. Возьмём интервал (α;β)=(x0−δ;x0+δ)(\alpha; \beta) = (x_0 - \delta; x_0 + \delta). Он содержит x0x_0. Для всех x∈(x0−δ;x0+δ)x \in (x_0-\delta; x_0+\delta), x≠x0x \ne x_0, справедливо f(x)>a2f(x) > \dfrac a2. Утверждение доказано.

Что и требовалось доказать