Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.13

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если функция

f(x)

удовлетворяет неравенству

f(x) \ge C

x \in (\alpha; \beta)

x \ne x_0 \in (\alpha; \beta)

, где

C

— постоянная, и существует

\lim_{x\to x_0} f(x)

, то

\lim_{x\to x_0} f(x) \ge C

Доказательство

Обозначим

A = \lim_{x\to x_0} f(x)

. Предположим противное:

A < C

. Тогда

C - A > 0

. Возьмём

\varepsilon = C - A > 0

. По определению предела существует

\delta > 0

, такое что для всех

x

0 < |x - x_0| < \delta

выполняется

|f(x) - A| < \varepsilon

. Отсюда

f(x) < A + \varepsilon = A + (C - A) = C

. Но по условию на

(\alpha; \beta)

при

x \ne x_0

должно быть

f(x) \ge C

. Получили противоречие. Следовательно,

A \ge C

, то есть

\lim_{x\to x_0} f(x) \ge C

Что и требовалось доказать