Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.12

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.12

Доказать, что если функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет конечный предел, то f(x)=O(1)f(x) = O(1) при x→x0x \to x_0.

Доказательство

Пусть lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0} f(x) = A, где AA — конечное число. По определению предела для ε=1\varepsilon = 1 существует δ>0\delta > 0, такое что для всех xx с 0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta выполняется ∣f(x)−A∣<1|f(x) - A| < 1. Тогда по неравенству треугольника∣f(x)∣=∣f(x)−A+A∣≤∣f(x)−A∣+∣A∣<1+∣A∣.|f(x)| = |f(x) - A + A| \le |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|.Таким образом, в проколотой δ\delta-окрестности точки x0x_0 функция f(x)f(x) ограничена: ∣f(x)∣<1+∣A∣|f(x)| < 1 + |A|. Это и означает, что f(x)=O(1)f(x) = O(1) при x→x0x \to x_0.

Что и требовалось доказать