Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.11

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.11

Доказать, что если из любой последовательности {xn}\{x_n\}, сходящейся к x0x_0, можно выделить подпоследовательность {xnk}\{x_{n_k}\}, для которой lim⁡k→∞f(xnk)=a\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = a, то lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0} f(x) = a.

Доказательство

Предположим противное: lim⁡x→x0f(x)≠a\lim_{x\to x_0} f(x) \ne a. Тогда существует ε>0\varepsilon > 0, такое что для любого δ>0\delta > 0 найдётся точка xx, для которой0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \deltaи∣f(x)−a∣≥ε.|f(x) - a| \ge \varepsilon.Возьмём δn=1n\delta_n = \dfrac1n. Для каждого nn выберем xnx_n, удовлетворяющее0<∣xn−x0∣<1n0 < |x_n - x_0| < \dfrac1nи∣f(xn)−a∣≥ε.|f(x_n) - a| \ge \varepsilon.Тогда {xn}\{x_n\} сходится к x0x_0. По условию из неё можно выделить подпоследовательность {xnk}\{x_{n_k}\}, для которойlim⁡k→∞f(xnk)=a.\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = a.Но для всех членов этой подпоследовательности выполняется ∣f(xnk)−a∣≥ε|f(x_{n_k}) - a| \ge \varepsilon, что противоречит сходимости f(xnk)f(x_{n_k}) к aa. Следовательно, предположение неверно, и
lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0} f(x) = a.

Что и требовалось доказать