Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.10

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 9.10

Доказать, что если для любой последовательности {xn}\{x_n\}, сходящейся к x0x_0, последовательность {f(xn)}\{f(x_n)\} сходится, то lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x) существует.

Доказательство

Пусть {un}\{u_n\} и {vn}\{v_n\} — две последовательности, сходящиеся к x0x_0. Построим w2k=ukw_{2k}=u_k, w2k−1=vkw_{2k-1}=v_k. Она также сходится к x0x_0. По условию f(wn)f(w_n) сходится. Тогда подпоследовательности f(uk)f(u_k) и f(vk)f(v_k) сходятся к одному пределу. Значит, пределы для всех последовательностей одинаковы. Обозначим общий предел через AA. Предположим, что f(x)↛Af(x)\not\to A. Тогда существует ε>0\varepsilon>0, для которого при любом δ>0\delta>0 найдётся xx с 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta и ∣f(x)−A∣≥ε|f(x)-A|\ge\varepsilon. Выбирая δn=1n\delta_n=\dfrac1n, получаем последовательность xn→x0x_n\to x_0, для которой f(xn)↛Af(x_n)\not\to A, что противоречит доказанному. Следовательно, f(x)→Af(x)\to A.

Что и требовалось доказать