Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9. Предел функции

Кудрявцев — задача 9.1

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 9.1

Определить, при каких положительных δ\delta из неравенства 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta следует неравенство ∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon:
1) f(x)=x2, x0=2, a=4, ε=0,001f(x)=x^2,\ x_0=2,\ a=4,\ \varepsilon=0{,}001;
2) f(x)=x2−4x+3x2−2x−3, x0=3, a=12, ε=0,01f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-2x-3},\ x_0=3,\ a=\dfrac12,\ \varepsilon=0{,}01;
3) f(x)=sin⁡x, x0=π2, a=1, ε=0,01f(x)=\sin x,\ x_0=\dfrac{\pi}{2},\ a=1,\ \varepsilon=0{,}01;
4) f(x)=sign⁡x, x0=0, a=1, ε=1,5f(x)=\operatorname{sign} x,\ x_0=0,\ a=1,\ \varepsilon=1{,}5.
Ответ:1) δ≤4,001−2;1)\ \delta\le\sqrt{4{,}001}-2;
2) δ≤451;2)\ \delta\le\dfrac{4}{51};
3) δ≤π2−arcsin⁡0,99;3)\ \delta\le\dfrac{\pi}{2}-\arcsin0{,}99;
4) δ не существует4)\ \delta\ \text{не существует}

Решение

Пусть ∣x−2∣<δ|x-2|<\delta. Тогда∣x+2∣=∣(x−2)+4∣≤≤∣x−2∣+4<δ+4.\begin{aligned}
|x+2| &= |(x-2)+4| \le \\
&\le |x-2|+4 < \delta+4.
\end{aligned}Следовательно,∣x2−4∣=∣x−2∣ ∣x+2∣<δ(δ+4).|x^2-4| = |x-2|\,|x+2| < \delta(\delta+4).Требуем δ(δ+4)≤0,001\delta(\delta+4)\le0{,}001. Решаем:δ2+4δ−0,001≤0⇒δ0=4,001−2.\delta^2+4\delta-0{,}001\le0 \quad\Rightarrow\quad \delta_0=\sqrt{4{,}001}-2.Значит, δ≤4,001−2\delta\le\sqrt{4{,}001}-2.

Разложение: x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3), x2−2x−3=(x+1)(x−3)x^2-2x-3=(x+1)(x-3). При x≠3x\ne3:f(x)=x−1x+1.f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}.Тогдаf(x)−12=x−32(x+1).f(x)-\dfrac12=\dfrac{x-3}{2(x+1)}.Пусть ∣x−3∣<δ|x-3|<\delta, δ<1\delta<1. Тогда x+1>4−δx+1>4-\delta, и∣x−32(x+1)∣≤δ2(4−δ).\left|\dfrac{x-3}{2(x+1)}\right|\le\dfrac{\delta}{2(4-\delta)}.Потребуем δ2(4−δ)≤0,01\dfrac{\delta}{2(4-\delta)}\le0{,}01. Отсюдаδ=0,02(4−δ)⇒1,02δ=0,08⇒δ=451.\delta=0{,}02(4-\delta) \quad\Rightarrow\quad 1{,}02\delta=0{,}08 \quad\Rightarrow\quad \delta=\dfrac{4}{51}.Неравенство ∣sin⁡x−1∣<0,01|\sin x-1|<0{,}01 равносильно sin⁡x>0,99\sin x>0{,}99. Ближайшие точки с sin⁡x=0,99\sin x=0{,}99 отстоят от π2\dfrac{\pi}{2} на π2−arcsin⁡0,99\dfrac{\pi}{2}-\arcsin0{,}99. Следовательно,δ≤π2−arcsin⁡0,99.\delta\le\dfrac{\pi}{2}-\arcsin0{,}99.Для x>0x>0: ∣sign⁡x−1∣=0<1,5|\operatorname{sign} x-1|=0<1{,}5. Для x<0x<0: ∣sign⁡x−1∣=2>1,5|\operatorname{sign} x-1|=2>1{,}5. В любой проколотой окрестности нуля есть отрицательные xx, поэтому положительного δ\delta не существует.