Раздел II. Предел и непрерывность функции — § 9

Кудрявцев § 9. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач параграфа

65 задач

65 из 65 с разбором

Задача 9.51

Доказать:

1) o(xn)+o(xk)=o(xk), x→0, n,k∈N, n≥ko(x^n)+o(x^k)=o(x^k),\ x\to0,\ n,k\in\mathbb N,\ n\ge k;
2) o(xn)⋅o(xk)=o(xn+k),  x→0, n,k∈N, n≥ko(x^n)\cdot o(x^k)=o(x^{n+k}),\ \ x
\to0,\ n,k\in\mathbb N,\ n\ge k.

Задача 9.52

Найти g(x)=Axng(x)=Ax^n такую, что f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x):

1) f(x)=x2arctg⁡xx5+x2+1f(x)=\dfrac{x^2 \operatorname{arctg} x}{x^5+x^2+1};
а) x→0x\to 0;
б) x→+∞x\to +\infty;
2) f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x;
а) x0=+∞x_0=+\infty;
б) x0=−∞x_0=-\infty;

3) f(x)=1+x23−1−x23f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[3]{1-x^2};
а) x0=0x_0=0;
б) x0=∞x_0=\infty;
4) f(x)=sin⁡(1/(x+1))x+x3f(x)=\dfrac{\sin(1/(x+1))}{\sqrt[3]{x+\sqrt{x}}};
а) x0=0x_0=0;
б) x0=+∞x_0=+\infty.

Задача 9.53

Проверить:

1) 100x+xsin⁡x=O(x), x→∞100x+x\sin x=O(x),\ x\to\infty;
2) x=O(100x+xsin⁡x), x→∞x=O(100x+x\sin x),\ x\to\infty;

3) x+xsin⁡x=O(x), x→∞x+x\sin x=O(x),\ x\to\infty;

4) x=O(x+xsin⁡x), x→∞x=O(x+x\sin x),\ x\to\infty;
5) x2+1−∣x∣=O(1x), x→∞\sqrt{x^2+1}-|x|=O\left(\dfrac1x\right),\ x\to\infty;

6) 1x=O(x2+1−∣x∣), x→∞\dfrac1x=O\left(\sqrt{x^2+1}-|x|\right),\ x\to\infty.

Задача 9.54

Доказать:

1) O(O(f))=O(f), x→x0O(O(f))=O(f),\ x\to x_0;
2) o(O(f))=o(f), x→x0o(O(f))=o(f),\ x\to x_0;
3) O(o(f))=o(f), x→x0O(o(f))=o(f),\ x\to x_0;

4) o(f)+O(f)=O(f), x→x0o(f)+O(f)=O(f),\ x\to x_0;
5) o(f)⋅O(f)=o(f2), x→x0o(f)\cdot O(f)=o(f^2),\ x\to x_0.

Задача 9.55

Доказать, x→0, n,k∈N, n>kx\to0,\ n,k\in\mathbb N,\ n>k:

1) O(xn)+O(xk)=O(xk)O(x^n)+O(x^k)=O(x^k);
2) O(xn)⋅O(xk)=O(xn+k)O(x^n)\cdot O(x^k)=O(x^{n+k}).

Задача 9.56

Доказать, x→∞, n,k∈N, n>kx\to\infty,\ n,k\in\mathbb N,\ n>k:

1) O(xn)+O(xk)=O(xn)O(x^n)+O(x^k)=O(x^n);
2) O(xn)⋅O(xk)=O(xn+k)O(x^n)\cdot O(x^k)=O(x^{n+k}).

Задача 9.57

Найти α\alpha и β\beta, при которых f(x)∼αxβf(x)\sim \alpha x^\beta:

1) f(x)=2x+x+xf(x)=\sqrt{2x+\sqrt{x+\sqrt{x}}};
а) x→+0x\to+0;
б) x→+∞x\to+\infty;

2) f(x)=1−2x−1−3x3, x→0f(x)=\sqrt{1-2x}-\sqrt[3]{1-3x},\ x\to0;

3) f(x)=2ex2+(cos⁡x−1)2+x5−2, x→0f(x)=2e^{x^2}+(\cos x-1)^2+x^5-2,\ x\to0;

4) f(x)=sin⁡22x+arcsin⁡2x+2arctg⁡x2, x→0f(x)=\sin^2 2x+\arcsin^2 x+2\operatorname{arctg}x^2,\ x\to0;

5) f(x)=1−cos⁡(1−cos⁡1x), x→∞f(x)=1-\cos\left(1-\cos\dfrac1x\right),\ x\to\infty;
6) f(x)=E(1x), x→0f(x)=E\left(\dfrac1x\right),\ x\to 0.

Задача 9.58

Найти пределы:

1) lim⁡x→2arctg⁡(2−x)+sin⁡(x−2)2x2−4\lim_{x \to 2} \dfrac{\operatorname{arctg}(2-x)+\sin(x-2)^2}{x^2-4};
2) lim⁡x→01+x23+x3−1ln⁡cos⁡x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}+x^3-1}{\ln\cos x};

3) lim⁡x→0x2(1+3x3−1)+sin⁡3x1−1+x3\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2(\sqrt[3]{1+3x}-1)+\sin^3 x}{1-\sqrt{1+x^3}};

4) lim⁡x→0(sin⁡2x−2tg⁡x)2+(1−cos⁡2x)3tg⁡76x+sin⁡6x\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin 2x-2\operatorname{tg}x)^2+(1-\cos 2x)^3}{\operatorname{tg}^7 6x+\sin^6 x}.

Задача 9.59

Пусть lim⁡t→t0φ(t)=x0\lim_{t\to t_0}\varphi(t)=x_0, причём φ(t)≠x0\varphi(t)\ne x_0 при t≠t0t\ne t_0 в некоторой окрестности t0t_0. Доказать:

1) если f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) при x→x0x\to x_0, то f(φ(t))=o(g(φ(t)))f(\varphi(t))=o(g(\varphi(t))) при t→t0t\to t_0;

2) если f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при x→x0x\to x_0, то f(φ(t))=O(g(φ(t)))f(\varphi(t))=O(g(\varphi(t))) при t→t0t\to t_0.

Задача 9.60

Пустьf(x)={1q,x=pq, p,q∈Z, q>0, НОД(p,q)=1,0,x иррационально.f(x)=
\begin{cases}
\dfrac1q, & x=\dfrac pq,\ p,q\in\mathbb Z,\ q>0,\ \text{НОД}(p,q)=1,\\[4pt]
0, & x\ \text{иррационально}.
\end{cases}Найти lim⁡x→x0f(x)\lim_{x\to x_0}f(x) для произвольного x0∈Rx_0\in\mathbb R.

Задача 9.61

Пусть lim⁡x→x0f(x)=a\lim_{x\to x_0}f(x)=a и lim⁡t→t0g(t)=x0\lim_{t\to t_0}g(t)=x_0. Следует ли отсюда, что lim⁡t→t0f(g(t))=a\lim_{t\to t_0}f(g(t))=a?

Задача 9.62

Пусть функция f(x)f(x), определённая на (x0;+∞)(x_0;+\infty), ограничена на каждом интервале вида (x0;x1)(x_0;x_1), x1<+∞x_1<+\infty. Пусть существует конечный или бесконечный пределL=lim⁡x→+∞f(x+1)−f(x)xn,n=0,1,2,…L=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)-f(x)}{x^n},\qquad n=0,1,2,\dotsДоказать, чтоlim⁡x→+∞f(x)xn+1=Ln+1.\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^{n+1}}
=
\dfrac{L}{n+1}.

Задача 9.63

Найти lim‾⁡x→x0f(x)\varlimsup_{x\to x_0}f(x) и lim‾⁡x→x0f(x)\varliminf_{x\to x_0}f(x):

1) f(x)=ecos⁡(1/x2)f(x)=e^{\cos(1/x^2)};
2) f(x)=1x2sin⁡21xf(x)=\dfrac1{x^2}\sin^2\dfrac1x;
3) f(x)=arcctg⁡1xf(x)=\operatorname{arcctg}\dfrac1x;
4) f(x)=1x2−1x−1xf(x)=\sqrt{\dfrac1{x^2}-\dfrac1x}-\dfrac1x.

Задача 9.64

Найти lim‾⁡x→+∞f(x)\varlimsup_{x\to+\infty}f(x) и lim‾⁡x→+∞f(x)\varliminf_{x\to+\infty}f(x):

1) f(x)=π2cos⁡2x+arctg⁡xf(x)=\dfrac{\pi}{2}\cos^2 x+\operatorname{arctg}x;
2) f(x)=1+x+6x21−x+2x2sin⁡x2f(x)=\dfrac{1+x+6x^2}{1-x+2x^2}\sin x^2;

3) f(x)=(4x2+x+1−4x2−x+1)(1+cos⁡2x)f(x)=\left(\sqrt{4x^2+x+1}-\sqrt{4x^2-x+1}\right)(1+\cos2x);
4) f(x)=(1+cos⁡2x)1/cos⁡2xf(x)=\left(1+\cos^2 x\right)^{1/\cos^2 x}.

Задача 9.65

Доказать:lim‾⁡x→+∞(cos⁡x+sin⁡2x)=2.\varlimsup_{x\to+\infty}(\cos x+\sin\sqrt2 x)=2.

Задачи 51–65 из 65