Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции
Демидович — задача 984
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.
Задача 984
Найти логарифмические производные следующих функций:а) y=x1+x1−x;б) y=1−xx23(3+x)23−x;в) y=(x−a1)α1(x−a2)α2⋯(x−an)αn;г) y=(x+1+x2)n.
Ответ:а) x1−1−x21, −1<x<1, x=0.
б) x2+1−x1−3(3−x)1−3(3+x)2, x∈/{−3,0,1,3}.
в) k=1∑nx−akαk на допустимых промежутках.
г) 1+x2n, x∈R.
б) x2+1−x1−3(3−x)1−3(3+x)2, x∈/{−3,0,1,3}.
в) k=1∑nx−akαk на допустимых промежутках.
г) 1+x2n, x∈R.
Решение
Логарифмическая производная ненулевой функции y — это (ln∣y∣)′=y′/y. После логарифмирования произведение превращается в сумму, а показатели степеней становятся коэффициентами. Все равенства используем там, где исходная функция определена, дифференцируема и не равна нулю.а) Подкоренное выражение положительно при −1<x<1, а множитель x отличен от нуля при x=0. На этих промежуткахln∣y∣=ln∣x∣+21ln(1−x)−21ln(1+x).Дифференцируем каждое слагаемое:yy′=x1−2(1−x)1−2(1+x)1=x1−2(1−x)(1+x)(1+x)+(1−x)=x1−1−x21.В точках x=0 и x=1 исходная функция равна нулю, поэтому логарифмической производной там нет.
б) Исключаем x=−3 и x=1, где формула не определена, а также x=0 и x=3, где y=0. На оставшихся промежуткахln∣y∣=2ln∣x∣−ln∣1−x∣+31ln∣3−x∣−32ln∣3+x∣.Знаки в производных определяются производными внутренних выражений: (1−x)′=(3−x)′=−1, (3+x)′=1. Поэтомуyy′=x2+1−x1−3(3−x)1−3(3+x)2.в) Например, на промежутке x>max(a1,…,an) все основания положительны, и при любых вещественных αklny=k=1∑nαkln(x−ak).Дифференцируя конечную сумму, получаемyy′=k=1∑nx−akαk.Та же формула с ln∣y∣ действует и на других открытых промежутках, где все множители определены, дифференцируемы и ненулевые. Множители с нулевыми показателями можно заранее удалить из произведения и соответствующие слагаемые — из суммы.
г) Поскольку 1+x2>∣x∣, основание x+1+x2 положительно для любого x. Значит,lny=nln(x+1+x2),yy′=nx+1+x21+x/1+x2.Приведём числитель внутренней дроби к общему знаменателю:1+1+x2x=1+x21+x2+x.Одинаковые ненулевые множители сокращаются, и получается y′/y=n/1+x2.
б) Исключаем x=−3 и x=1, где формула не определена, а также x=0 и x=3, где y=0. На оставшихся промежуткахln∣y∣=2ln∣x∣−ln∣1−x∣+31ln∣3−x∣−32ln∣3+x∣.Знаки в производных определяются производными внутренних выражений: (1−x)′=(3−x)′=−1, (3+x)′=1. Поэтомуyy′=x2+1−x1−3(3−x)1−3(3+x)2.в) Например, на промежутке x>max(a1,…,an) все основания положительны, и при любых вещественных αklny=k=1∑nαkln(x−ak).Дифференцируя конечную сумму, получаемyy′=k=1∑nx−akαk.Та же формула с ln∣y∣ действует и на других открытых промежутках, где все множители определены, дифференцируемы и ненулевые. Множители с нулевыми показателями можно заранее удалить из произведения и соответствующие слагаемые — из суммы.
г) Поскольку 1+x2>∣x∣, основание x+1+x2 положительно для любого x. Значит,lny=nln(x+1+x2),yy′=nx+1+x21+x/1+x2.Приведём числитель внутренней дроби к общему знаменателю:1+1+x2x=1+x21+x2+x.Одинаковые ненулевые множители сокращаются, и получается y′/y=n/1+x2.