Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 730

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть

f(x)=\begin{cases}e^x,&x<0,\\a+x,&x\geqslant0.\end{cases}

При каком выборе числа

a

функция

f(x)

будет непрерывной?

Ответ:

a=1

Решение

Проверим непрерывность на каждой части области определения и в точках смены формулы.

\lim_{x\to0-}f(x)=e^0=1,\qquad \lim_{x\to0+}f(x)=a+0=a,\qquad f(0)=a.

Непрерывность требует совпадения обоих пределов со значением

f(0)

, то есть

a=1

. При этом выборе все три числа равны

1

, поэтому условие не только необходимо, но и достаточно.