Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 729

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 729

Определить, является ли непрерывной функцияf(x)={2x,0⩽x⩽1,2−x,1<x⩽2.f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqslant x\leqslant1,\\2-x,&1<x\leqslant2.\end{cases}
ВыводНет. Единственная точка разрыва — x=1x=1: левый предел равен 22, правый — 11.

Решение

Проверим непрерывность на каждой части области определения и в точках смены формулы.
Проверим точку смены формулы x=1x=1:f(1)=2⋅1=2,lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−2x=2,f(1)=2\cdot1=2,\qquad
\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}2x=2,lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+(2−x)=2−1=1.\lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}(2-x)=2-1=1.Односторонние пределы конечны, но различны. Поэтому в точке 11 имеется разрыв первого рода со скачком 1−2=−11-2=-1, и функция не является непрерывной на всём [0,2][0,2].