Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 371.3

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 371.3

Построить в полярных координатах rr и φ\varphi графики функций,
заданных параметрически при t>0t>0:а) {φ=tcos⁡2t,r=tsin⁡2tб) {φ=1−2−tsin⁡πt2,r=1−2−tcos⁡πt2\text{а) }
\begin{cases}
\varphi=t\cos^2t,\\
r=t\sin^2t
\end{cases}
\qquad
\text{б) }
\begin{cases}
\varphi=1-2^{-t}\sin\dfrac{\pi t}{2},\\[1mm]
r=1-2^{-t}\cos\dfrac{\pi t}{2}
\end{cases}
ВыводВ пунктах а) и б) построены две параметрически заданные
полярные кривые; отмечены их характерные и предельные точки.

Решение

Пункт а)

Считаем r⩾0r\geqslant0 и переводим полярные точки в декартовы по
формулам x=rcos⁡φx=r\cos\varphi, y=rsin⁡φy=r\sin\varphi.

φ=tcos⁡2t\varphi=t\cos^2t, r=tsin⁡2tr=t\sin^2t, t>0t>0.

Обе полярные координаты неотрицательны. Для k=0k=0 рассматриваем
промежуток 0<t⩽π0<t\leqslant\pi. При t→0+0t\to0+0 первая дуга
приближается к началу координат, не достигая его, а при t=πt=\pi
возвращается в начало координат.
Для каждого k=1,2,…k=1,2,\ldots на концах промежуткаkπ⩽t⩽(k+1)πk\pi\leqslant t\leqslant(k+1)\piимеем r=0r=0, поэтому очередная дуга начинается и заканчивается в
начале координат. В середине каждого промежутка, приt=(k+12)πt=\left(k+\frac12\right)\piвключая k=0k=0, кривая достигает положительного полярного луча в точке
с полярными координатамиφ=0,r=(k+12)π\varphi=0,
\qquad
r=\left(k+\frac12\right)\piРадиусы этих точек неограниченно возрастают, поэтому вся кривая
неограниченна.

Построение графика

Строим первые четыре дуги при
0<t⩽4π0<t\leqslant4\pi. Отмечаем начало координат и точки на положительном
луче с радиусами π2\frac{\pi}{2}, 3π23\frac{\pi}{2}, 5π25\frac{\pi}{2} и 7π27\frac{\pi}{2}.график к задаче Демидовича № 371.3

Пункт б)

Параметрическая кривая, сходящаяся к полярной точке
(r,φ)=(1,1)(r,\varphi)=(1,1).

Заданоφ=1−2−tsin⁡πt2,r=1−2−tcos⁡πt2,t>0\varphi=1-2^{-t}\sin\frac{\pi t}{2},
\qquad
r=1-2^{-t}\cos\frac{\pi t}{2},
\qquad
t>0Поскольку 2−t<12^{-t}<1, радиус положителен. При t→0+0t\to0+0 получаем
r→0+0r\to0+0 и φ→1\varphi\to1, поэтому кривая приближается к началу
координат, не достигая его. При t→+∞t\to+\inftyr⟶1,φ⟶1r\longrightarrow1,
\qquad
\varphi\longrightarrow1то есть второй предельной точкой являетсяP=(cos⁡1,sin⁡1)P=(\cos1,\sin1)Поскольку 0<φ<20<\varphi<2, для достижения точки PP необходимо
одновременно иметь r=1r=1 и φ=1\varphi=1, то естьcos⁡πt2=0,sin⁡πt2=0\cos\frac{\pi t}{2}=0,
\qquad
\sin\frac{\pi t}{2}=0Эти равенства не могут выполняться одновременно. Поэтому точка PP
является только предельной и не принадлежит кривой.

Отклонения полярных координат от предельных значений имеют вид(φ−1,r−1)=−2−t(sin⁡πt2,cos⁡πt2)(\varphi-1,r-1)=
-2^{-t}\left(\sin\frac{\pi t}{2},
\cos\frac{\pi t}{2}\right)Их длина в плоскости (φ,r)(\varphi,r) равна 2−t2^{-t}, а направление
совершает полный оборот при увеличении tt на 44. Поэтому кривая
колебательно приближается к точке PP. Например,t=1: (r,φ)=(1,12),t=2: (r,φ)=(54,1)t=1:\ (r,\varphi)=\left(1,\frac12\right),
\qquad
t=2:\ (r,\varphi)=\left(\frac54,1\right)

Построение графика

Строим кривую при t>0t>0, отмечаем две обычные
характерные точки и выколотыми маркерами показываем оба предельных
положения: начало координат и P=(cos⁡1,sin⁡1)P=(\cos1,\sin1).график к задаче Демидовича № 371.3
Демидович № 371.3 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика