Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 371.2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 371.2

Построить в полярных координатах rr и φ\varphi графики следующих
функций:а) φ=4r−r2;б) φ=12r1+r2;в) r2+φ2=100.\text{а) }\varphi=4r-r^2;
\qquad
\text{б) }\varphi=\frac{12r}{1+r^2};
\qquad
\text{в) }r^2+\varphi^2=100.
ВыводПостроены три полярные кривые. Для неограниченных кривых
указаны их асимптотические свойства.

Решение

Пункт а)

Считаем r⩾0r\geqslant0 и строим каждую полярную кривую по формулам
x=rcos⁡φx=r\cos\varphi, y=rsin⁡φy=r\sin\varphi.

φ=4r−r2\varphi=4r-r^2.

Радиус изменяется на промежутке r⩾0r\geqslant0. Выделим квадрат: φ=4−(r−2)2\varphi=4-(r-2)^2. При 0≤r≤20\le r\le2 квадрат убывает, а при r≥2r\ge2 возрастает. Максимальное значение φ=4\varphi=4 достигается при r=2r=2. Кроме того,
φ=0\varphi=0 при r=0r=0 и r=4r=4, а при r→+∞r\to+\infty имеем
φ→−∞\varphi\to-\infty. Радиус всё время возрастает, поэтому после
единственного поворота по углу кривая образует бесконечную спираль,
закручивающуюся по часовой стрелке.

Построение графика

Используем rr как параметр. Отмечаем начало
координат, точку максимального угла при r=2r=2 и повторное пересечение
полярной оси при r=4r=4. Показан фрагмент 0⩽r⩽80\leqslant r\leqslant8.график к задаче Демидовича № 371.2

Пункт б)

φ=12r(1+r2)\varphi=\frac{12r}{(1+r^2)}.

При r⩾0r\geqslant0 угол неотрицателен. Это шестикратное значение функции 2r(1+r2)\frac{2r}{(1+r^2)} из №257, поэтому её монотонность известна. Следовательно, угол возрастает от 00 до максимума 66 при r=1r=1,
а затем убывает к нулю. Неограниченная часть кривой имеет линейную
асимптоту. Действительно, при r→+∞r\to+\inftyx=rcos⁡12r1+r2⟶+∞,y=rsin⁡12r1+r2⟶12\begin{aligned}
x&=r\cos\frac{12r}{1+r^2}\longrightarrow+\infty,\\
y&=r\sin\frac{12r}{1+r^2}\longrightarrow12
\end{aligned}поэтому асимптотой является прямая y=12y=12. Обоснуем асимптоту через оценку №302. Обозначив φ=12r(1+r2)\varphi=\frac{12r}{(1+r^2)}, для достаточно большого rr получаем∣rsin⁡φ−12∣≤∣rφ−12∣+r∣sin⁡φ−φ∣≤121+r2+r2(12r1+r2)3.|r\sin\varphi-12|\le|r\varphi-12|+r|\sin\varphi-\varphi|
\le\frac{12}{1+r^2}+\frac r2\left(\frac{12r}{1+r^2}\right)^3.Оба слагаемых становятся сколь угодно малыми; при этом x=rcos⁡φ≥r(1−φ22)x=r\cos\varphi\ge r(1-\frac{\varphi^2}{2}) неограниченно возрастает.

Построение графика

Строим внутреннюю дугу от начала координат и
неограниченный конец, который постепенно выравнивается вдоль
горизонтальной асимптоты y=12y=12.график к задаче Демидовича № 371.2

Пункт в)

r2+φ2=100r^2+\varphi^2=100.

При r⩾0r\geqslant0 уравнение равносильноr=100−φ2,−10⩽φ⩽10r=\sqrt{100-\varphi^2},
\qquad
-10\leqslant\varphi\leqslant10В обоих концах промежутка радиус равен нулю, а при φ=0\varphi=0
получаем точку (10,0)(10,0). Поскольку r(−φ)=r(φ)r(-\varphi)=r(\varphi),
кривая симметрична относительно полярной оси.
Точки самопересечения на этой оси появляются для
φ=±kπ\varphi=\pm k\pi, где k=1,2,3k=1,2,3. Их координаты равны((−1)k100−k2π2,0),k=1,2,3\left((-1)^k\sqrt{100-k^2\pi^2},0\right),
\qquad
k=1,2,3Два значения угла kπk\pi и −kπ-k\pi задают в каждом случае одну и ту
же полярную точку. В начале координат соединяются два конца кривой, соответствующие φ=−10\varphi=-10 и φ=10\varphi=10. Кривая подходит к началу координат по двум различным направлениям.

Построение графика

Строим кривую при
−10⩽φ⩽10-10\leqslant\varphi\leqslant10, отмечаем точку (10,0)(10,0), три
самопересечения и начало координат.график к задаче Демидовича № 371.2
Демидович № 371.2 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика