Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 371.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 371.1

Построить графики функций в полярной системе координат
(r,φ)(r,\varphi):а) r=φ(спираль Архимеда);\text{а) }r=\varphi\quad(\text{спираль Архимеда});б) r=πφ(гиперболическая спираль);\text{б) }r=\frac\pi\varphi
\quad(\text{гиперболическая спираль});в) r=φφ+1(0⩽φ<+∞);\text{в) }r=\frac\varphi{\varphi+1}
\quad(0\leqslant\varphi<+\infty);г) r=2φ2π(логарифмическая спираль);\text{г) }r=2^{\frac{\varphi}{2\pi}}
\quad(\text{логарифмическая спираль});д) r=2(1+cos⁡φ)(кардиоида);\text{д) }r=2(1+\cos\varphi)
\quad(\text{кардиоида});е) r=10sin⁡3φ(трёхлепестковая роза);\text{е) }r=10\sin3\varphi
\quad(\text{трёхлепестковая роза});ж) r2=36cos⁡2φ(лемниската Бернулли);\text{ж) }r^2=36\cos2\varphi
\quad(\text{лемниската Бернулли});з) φ=rr−1(r>1);и) φ=2πsin⁡r.\text{з) }\varphi=\frac r{r-1}\quad(r>1);
\qquad
\text{и) }\varphi=2\pi\sin r.
ПостроениеВ пунктах а)–и) построены девять полярных кривых. Для
всех неограниченных кривых показаны конечные характерные фрагменты и
указано их дальнейшее поведение.

Построение

Пункт а)

Будем пользоваться стандартным соглашением r⩾0r\geqslant0.
Для построения полярную точку переводим в декартову систему по
формуламx=rcos⁡φ,y=rsin⁡φx=r\cos\varphi,
\qquad
y=r\sin\varphiУглы во всех формулах измеряются в радианах. Пунктирные окружности и
прямые на рисунках являются вспомогательными элементами построения.

r=φr=\varphi — спираль Архимеда.
Так как r⩾0r\geqslant0, берём φ⩾0\varphi\geqslant0. При
φ=0\varphi=0 получаем начало координат. Радиус возрастает равномерно,
а после одного полного оборотаr(φ+2π)=r(φ)+2πr(\varphi+2\pi)=r(\varphi)+2\piПоэтому расстояние между соседними витками вдоль любого фиксированного
луча равно 2π2\pi.

Построение графика

Строим кривую
(x,y)=(φcos⁡φ,φsin⁡φ)(x,y)=(\varphi\cos\varphi,\varphi\sin\varphi) при
φ⩾0\varphi\geqslant0. На рисунке показаны первые три витка; спираль
неограниченно продолжается наружу.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт б)

r=πφr=\frac{\pi}{\varphi} — гиперболическая спираль.

Положительному радиусу соответствует φ>0\varphi>0. При
φ→+∞\varphi\to+\infty имеем r→0+0r\to0+0, поэтому витки бесконечно
приближаются к началу координат, не достигая его. При
φ→0+0\varphi\to0+0x=πcos⁡φφ⟶+∞,y=πsin⁡φφ⟶π\begin{aligned}
x&=\frac{\pi\cos\varphi}{\varphi}\longrightarrow+\infty,\\
y&=\frac{\pi\sin\varphi}{\varphi}\longrightarrow\pi
\end{aligned}Следовательно, уходящий вправо конец кривой имеет горизонтальную
асимптоту y=πy=\pi. Для малых положительных φ\varphi оценка из №302 даёт 0≤1−sin⁡φφ≤φ220\le1-\frac{\sin\varphi}{\varphi}\le\frac{\varphi^2}{2}. Поэтому ∣y−π∣≤πφ22|y-\pi|\le\pi\frac{\varphi^2}{2}. Кроме того, cos⁡φ≥1−φ22\cos\varphi\ge1-\frac{\varphi^2}{2}, так что xx неограниченно возрастает.

Построение графика

Строим параметрическую кривую
(πcos⁡φφ,πsin⁡φφ)(\frac{\pi\cos\varphi}{\varphi},\frac{\pi\sin\varphi}{\varphi}) при
φ>0\varphi>0. Отдельно проводим асимптоту y=πy=\pi; внутренние витки
продолжают сгущаться у начала координат.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт в)

r=φ(φ+1)r=\frac{\varphi}{(\varphi+1)}, φ⩾0\varphi\geqslant0.

Запишем r=1−1(φ+1)r=1-\frac{1}{(\varphi+1)}. При возрастании φ≥0\varphi\ge0 положительная дробь убывает, поэтому радиус строго возрастает от 00 к 11:

При φ=0\varphi=0 получаем r=0r=0. Поскольку 1−r=1(φ+1)>01-r=\frac{1}{(\varphi+1)}>0, радиус всегда меньше 11, а разность 1−r1-r при увеличении угла становится сколь угодно малой.

Кривая начинается в начале координат и бесконечно навивается на
единичную окружность изнутри. Ни одна её точка не лежит на этой
окружности.

Построение графика

Строим несколько первых витков спирали и
пунктиром показываем предельную окружность r=1r=1.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт г)

r=2φ(2π)r=2^{\frac{\varphi}{(2\pi)}} — логарифмическая спираль.
Функция определена и положительна при всех φ∈R\varphi\in\mathbb R.
После каждого полного оборота радиус удваивается:r(φ+2π)=2r(φ)r(\varphi+2\pi)=2r(\varphi)Каждый оборот в обратном направлении уменьшает радиус вдвое, поэтому витки могут находиться сколь угодно близко к началу координат. При движении в положительном направлении радиус неограниченно растёт.

Начало координат является предельной, но не принадлежащей спирали
точкой.

Построение графика

Строим несколько витков по обе стороны от точки
r(0)=1r(0)=1. Характерные радиусы на положительном луче образуют
геометрическую прогрессию 12,1,2,4\frac{1}{2},1,2,4.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт д)

r=2(1+cos⁡φ)r=2(1+\cos\varphi) — кардиоида.
Так как 1+cos⁡φ⩾01+\cos\varphi\geqslant0, радиус допустим при всех углах.
Равенство r(−φ)=r(φ)r(-\varphi)=r(\varphi) показывает симметрию относительно
полярной оси. При φ=π\varphi=\pi получаем остриё в начале координат, а
при φ=0\varphi=0 — наиболее удалённую точку (4,0)(4,0).
Для нахождения верхней и нижней точек исследуем ординатуy=2(1+cos⁡φ)sin⁡φy=2(1+\cos\varphi)\sin\varphiНа верхней половине положим c=cos⁡φc=\cos\varphi. Тогдаy2=4(1+c)2(1−c2)=4(1−c)(1+c)3.y^2=4(1+c)^2(1-c^2)=4(1-c)(1+c)^3.Возьмём четыре неотрицательных числа 3(1−c),1+c,1+c,1+c3(1-c),1+c,1+c,1+c. Множитель 33 выбран так, чтобы коэффициенты при cc в их сумме уничтожились: сумма равна 66. По неравенству между средним арифметическим и геометрическим3(1−c)(1+c)3≤(64)4=8116,y2≤(43)(8116)=274.3(1-c)(1+c)^3\le(\frac{6}{4})^4=\frac{81}{16},
\quad y^2\le(\frac{4}{3})(\frac{81}{16})=\frac{27}{4}.Равенство достигается, когда все четыре числа равны: 3(1−c)=1+c3(1-c)=1+c, откуда c=12c=\frac{1}{2}. При φ=π3\varphi=\frac{\pi}{3} получаем r=2(1+12)=3r=2(1+\frac{1}{2})=3, поэтомуx=3⋅12=32,y=3⋅32=332.x=3\cdot\frac12=\frac32,\qquad y=3\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2.Нижнюю точку получаем отражением: (32,−332)(\frac{3}{2},-3\frac{\sqrt3}{2}).

Построение графика

Строим один полный обход при
0⩽φ⩽2π0\leqslant\varphi\leqslant2\pi, отмечаем остриё, наиболее удалённую
и две крайние по вертикали точки.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт е)

r=10sin⁡3φr=10\sin3\varphi — трёхлепестковая роза.
При стандартном условии r⩾0r\geqslant0 допустимы те углы, для которых
sin⁡3φ⩾0\sin3\varphi\geqslant0. На промежутке 0⩽φ<2π0\leqslant\varphi<2\pi
получаем три дуги:0⩽φ⩽π3,2π3⩽φ⩽π,4π3⩽φ⩽5π30\leqslant\varphi\leqslant\frac\pi3,
\qquad
\frac{2\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant\pi,
\qquad
\frac{4\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant\frac{5\pi}{3}Радиус каждого лепестка изменяется от 00 до 1010 и обратно.
Вершины соответствуют углам π6\frac{\pi}{6}, 5π65\frac{\pi}{6} и 3π23\frac{\pi}{2}:(x,y)=(53,5),(−53,5),(0,−10)(x,y)=(5\sqrt3,5),
\qquad
(-5\sqrt3,5),
\qquad
(0,-10)

Построение графика

Строим три допустимые дуги отдельно и соединяем
их в общей точке — начале координат.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт ж)

r2=36cos⁡2φr^2=36\cos2\varphi — лемниската Бернулли.

Равенство возможно только при cos⁡2φ⩾0\cos2\varphi\geqslant0. Поэтому
можно взять−π4⩽φ⩽π4,3π4⩽φ⩽5π4-\frac\pi4\leqslant\varphi\leqslant\frac\pi4,
\qquad
\frac{3\pi}{4}\leqslant\varphi\leqslant\frac{5\pi}{4}и на этих промежутках положитьr=6cos⁡2φr=6\sqrt{\cos2\varphi}При переходе к декартовым координатам получаем(x2+y2)2=36(x2−y2)(x^2+y^2)^2=36(x^2-y^2)Кривая симметрична относительно обеих осей, имеет двойную точку в
начале координат и вершины (±6,0)(\pm6,0).

Построение графика

Строим правую и левую петли на двух допустимых
промежутках угла. В начале координат каждая петля замыкается.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт з)

φ=r(r−1)\varphi=\frac{r}{(r-1)}, r>1r>1.

Представим угол в видеφ=1+1r−1\varphi=1+\frac1{r-1}При r→1+0r\to1+0 угол неограниченно возрастает, а радиус стремится к
11. Поэтому кривая бесконечно навивается на единичную окружность
снаружи. При r→+∞r\to+\infty имеем φ→1+0\varphi\to1+0.

Уточним поведение неограниченного конца. В системе координат,
повёрнутой на угол 11, поперечная координата равна−xsin⁡1+ycos⁡1=rsin⁡(φ−1)=rsin⁡1r−1⟶1-x\sin1+y\cos1=r\sin(\varphi-1)=
r\sin\frac1{r-1}\longrightarrow1Следовательно, линейной асимптотой служит прямая−xsin⁡1+ycos⁡1=1-x\sin1+y\cos1=1 Действительно, с h=1(r−1)h=\frac{1}{(r-1)} поперечная координата равна (1+h)sin⁡hh(1+h)\frac{\sin h}{h}. Здесь hh становится сколь угодно малым, а 0≤1−sin⁡hh≤h220\le1-\frac{\sin h}{h}\le \frac{h^2}{2} по №302, что и даёт значение 11.

Построение графика

Строим витки снаружи единичной окружности и
неограниченный конец, приближающийся к найденной прямой. Окружность и
асимптота показаны пунктиром.график к задаче Демидовича № 371.1

Пункт и)

φ=2πsin⁡r\varphi=2\pi\sin r.
Здесь r⩾0r\geqslant0, а угол колеблется в пределах
−2π⩽φ⩽2π-2\pi\leqslant\varphi\leqslant2\pi. Функция
φ(r)=2πsin⁡r\varphi(r)=2\pi\sin r периодична по rr с периодом 2π2\pi.
Однако соответствующая полярная кривая не замыкается и не повторяет
прежние фрагменты, поскольку расстояние её точки от начала координат
равно rr и неограниченно возрастает.

Положительному полярному лучу соответствуют углы 00 и ±2π\pm2\pi.
Поэтому все характерные точки на этом луче задаются равенствомr=kπ2,k=0,1,2,…r=\frac{k\pi}{2},
\qquad
k=0,1,2,\ldotsПри чётных kk имеем φ=0\varphi=0, а при нечётных —
φ=±2π\varphi=\pm2\pi. В обоих случаях получается тот же положительный
полярный луч.
При чётных k≥2k\ge2 радиус r=kπ2r=k\frac{\pi}{2} является нулём синуса, и угол меняет знак при прохождении через эту точку; кривая пересекает полярный луч. При нечётных kk синус достигает 11 или −1-1, поэтому угол до и после этой точки остаётся по одну сторону от 2π2\pi или −2π-2\pi. Кривая достигает луча и поворачивает обратно по углу. При k=0k=0 она начинается в начале координат.

Построение графика

Используем rr как параметр и строим конечный
фрагмент 0⩽r⩽4π0\leqslant r\leqslant4\pi. Кривая продолжается наружу с
новыми колебаниями угла.график к задаче Демидовича № 371.1
Демидович № 371.1 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика