Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 370.2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики неявных функций:

\text{а) }\min(x,y)=1;\qquad\text{б) }\max(x,y)=1;

\text{в) }\max(|x|,|y|)=1;\qquad\text{г) }\min(x^2,y)=1

ПостроениеГрафики представляют собой указанные объединения лучей и
границу квадрата.

Построение

\min(x,y)=1

Минимум двух чисел равен

1

тогда и только тогда, когда оба числа не
меньше

1

и хотя бы одно из них равно

1

. Поэтому

\begin{aligned}&x=1,\quad y\geqslant1,\qquad\text{или}\\&y=1,\quad x\geqslant1\end{aligned}

Строим два перпендикулярных луча с общей начальной
точкой

(1,1)

, направленные вверх и вправо. график к задаче Демидовича № 370.2

\max(x,y)=1

Максимум равен

1

, если

x\leqslant1

y\leqslant1

и хотя бы одна
из координат равна

1

. Значит,

\begin{aligned}&x=1,\quad y\leqslant1,\qquad\text{или}\\&y=1,\quad x\leqslant1\end{aligned}

Из точки

(1,1)

проводим один луч вниз, а второй
— влево. график к задаче Демидовича № 370.2

\max(|x|,|y|)=1

Равенство означает

|x|\leqslant1,\qquad|y|\leqslant1,

причём хотя бы одно из этих двух неравенств обращается в равенство.
Следовательно, график является границей квадрата

[-1,1]^2

Строим квадрат с вершинами

(1,1)

(-1,1)

(-1,-1)

(1,-1)

; вся его граница включена. график к задаче Демидовича № 370.2

\min(x^2,y)=1

Необходимо, чтобы

x^2\geqslant1

y\geqslant1

и хотя бы одно из
чисел

x^2

y

было равно

1

. Поэтому множество решений состоит из
четырёх лучей:

\begin{aligned}&x=\pm1,\quad y\geqslant1,\qquad\text{или}\\&y=1,\quad x\leqslant-1\quad\text{или}\quadx\geqslant1\end{aligned}

Из точек

(-1,1)

(1,1)

проводим вертикальные
лучи вверх и горизонтальные лучи наружу. Отрезок между этими точками
не входит в график. график к задаче Демидовича № 370.2