Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 324.1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 324.1

Построить график функции

y=\operatorname{arctg}y_1

, если:

\text{а) }y_1=x^2\qquad\text{б) }y_1=\frac1{x^2}\qquad\text{в) }y_1=\ln x\qquad\text{г) }y_1=\frac1{\sin x}

ПостроениеПостроены четыре композиции с арктангенсом; их области
определения совпадают с областями определения соответствующих функций

y_1

, а значения принадлежат

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Построение

Пункт а)

Функция

\operatorname{arctg}t

определена при всех действительных

t

,
строго возрастает и принимает значения из

\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

. Поэтому область
определения каждой композиции совпадает с областью определения
внутренней функции

y_1

. На каждом промежутке, на котором

y_1

монотонна, направление её монотонности сохраняется.

Рассмотрим

y=\operatorname{arctg}(x^2)

Функция определена на

\mathbb R

и является чётной. Поскольку

x^2\in[0,+\infty)

, имеем

E=\left[0,\frac{\pi}{2}\right)

Квадрат убывает на отрицательном луче и возрастает на положительном; арктангенс сохраняет порядок. Поэтому функция убывает на

(-\infty,0]

, возрастает на

[0,+\infty)

и имеет минимум

y(0)=0

. При

x\to\pm\infty

получаем горизонтальную асимптоту

y=\frac{\pi}{2}

Пункт б)

Для функции

y=\operatorname{arctg}\frac1{x^2}

имеем

D=\mathbb R\setminus\{0\}\qquadE=\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

Функция чётная, на отрицательном луче

\frac{1}{x^2}

возрастает, а на положительном убывает. Арктангенс сохраняет этот порядок. Поэтому левая ветвь возрастает, а правая убывает.

Вблизи

x=0

аргумент арктангенса неограниченно растёт, поэтому ординаты близки к

\frac{\pi}{2}

. При большом

|x|

этот аргумент близок к нулю, и график приближается к оси

Ox

.

Точка

\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

является выколотой предельной
точкой, а не вертикальной асимптотой. Прямая

y=0

— горизонтальная
асимптота.

Пункт в)

Логарифм существует только при

x>0

, поэтому для

y=\operatorname{arctg}(\ln x)

получаем

D=(0,+\infty)

Так как

\ln x

пробегает всю числовую прямую, множество значений равно

E=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Логарифм и арктангенс строго возрастают, поэтому их композиция строго возрастает. Она проходит через

(1,0)

.

На левом конце допустимого промежутка аргумент арктангенса неограниченно убывает, а при движении вправо неограниченно возрастает. Поэтому ветвь подходит к уровню

-\frac{\pi}{2}

слева и к уровню

\frac{\pi}{2}

справа.

Поэтому при

x\to0+

график приближается к точке

\left(0,-\frac{\pi}{2}\right)

, но сама точка графику не принадлежит.
Прямая

y=\frac{\pi}{2}

является горизонтальной асимптотой при

x\to+\infty

Пункт г)

Внутренняя функция

\dfrac{1}{\sin x}

не определена при

x=k\pi

. Следовательно,

D=\mathbb R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}

Поскольку

\left|\dfrac{1}{\sin x}\right|\geqslant1

, множество
значений композиции равно

E=\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)

Функция нечётная и имеет период

2\pi

. Используем график

\frac1{\sin x}

из №292: арктангенс сохраняет порядок ординат каждой его ветви. На каждом промежутке

(2\pi k,(2k+1)\pi)

строим положительную
U-образную ветвь с минимумом

\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{4}\right)

. На промежутке

((2k-1)\pi,2\pi k)

строим отрицательную дугу с максимумом

\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,-\frac{\pi}{4}\right)

.

Подстановка концов в формулы соседних дуг при

x=k\pi

даёт разные ординаты

-\frac{\pi}{2}

\frac{\pi}{2}

. Поэтому
в этих точках имеются скачки и две выколотые крайние точки, но вертикальных асимптот нет.

Построение графиков части 1.

На рисунках проводим найденные горизонтальные асимптоты и отмечаем
включённые либо выколотые характерные точки.