Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2124

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

\displaystyle\int\sh ax\sin bx\,dx

Ответ:При

a^2+b^2>0

\dfrac{a\ch(ax)\sin(bx)-b\sh(ax)\cos(bx)}{a^2+b^2}+C

При

a=b=0

C

Решение

Если

a^2+b^2>0

, рассмотрим функцию

F(x)=\dfrac{a\ch(ax)\sin(bx)-b\sh(ax)\cos(bx)}{a^2+b^2}

При дифференцировании используем

(\sh ax)'=a\ch ax

(\ch ax)'=a\sh ax

. Слагаемые с

\ch(ax)\cos(bx)

сокращаются, а оставшиеся слагаемые дают

F'(x)=\dfrac{(a^2+b^2)\sh(ax)\sin(bx)}{a^2+b^2}=\sh(ax)\sin(bx)

Значит, искомый интеграл равен

F(x)+C

. При

a=b=0

подынтегральная функция тождественно равна нулю, и первообразная является произвольной постоянной.