Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2122

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

Задача 2122

∫tanh⁡x dx\displaystyle\int\sqrt{\tanh x}\,dx.
Ответ:12ln⁡∣e2x+e4x−1∣+12arcsin⁡(e−2x)+C\frac{1}{2}\ln |e^{2x}+\sqrt{e^{4x}-1}|+\frac{1}{2}\arcsin (e^{-2x})+C

Решение

Прежде чем начать применять какой-либо метод решения интегралов, посмотрим на функцию th⁡x\sqrt {\th x} внимательнее:th⁡x=ex−e−xex+e−x\sqrt {\th x} = \sqrt{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}Видим, что выражения отличаются только знаком между слагаемыми. Значит, можно домножить как числитель, так и знаменатель на выражение ex−e−xe^x-e^{-x}. В таком случае в числителе пропадет корень, а в знаменателе останется разность квадратов:ex−e−xex+e−x=ex−e−xex+e−x⋅ex−e−xex−e−x=ex−e−xe2x−e−2x\sqrt{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}=\sqrt{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\cdot \sqrt{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x-e^{-x}}}=\frac{e^x-e^{-x}}{\sqrt{e^{2x}-e^{-2x}}}В таком виде подынтегральное выражение легко разбить на два слагаемых, зависящих от экспоненты:∫th⁡x  dx=∫exe2x−e−2x  dx−∫e−xe2x−e−2x  dx\int \sqrt{\th x}\;dx=\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-e^{-2x}}}\;dx - \int \frac{e^{-x}}{\sqrt{e^{2x}-e^{-2x}}}\;dxБудем рассматривать интегралы по отдельности. В первом удобно домножить числитель и знаменатель на exe^x, чтобы под корнем появилось что-то похожее на x2−1x^2-1:∫exe2x−e−2x  dx=∫ex⋅exex⋅e2x−e−2x  dx=∫e2xe4x−1  dx\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-e^{-2x}}}\;dx = \int \frac{e^x\cdot e^x}{e^x\cdot\sqrt{e^{2x}-e^{-2x}}}\;dx = \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x}-1}}\;dxТеперь можем занести e2xe^2x под дифференциал:∫e2xe4x−1  dx=12∫d(e2x)e4x−1\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x}-1}}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(e^{2x})}{\sqrt{e^{4x}-1}}Видим перед собой "длинный" логарифм, то есть12∫d(e2x)e4x−1=12ln⁡∣e2x+e4x−1∣+C\frac{1}{2}\int \frac{d(e^{2x})}{\sqrt{e^{4x}-1}}=\frac{1}{2}\ln |e^{2x}+\sqrt{e^{4x}-1}|+CВо втором рассматриваемом интеграле надо домножать уже на e−xe^{-x}, чтобы прийти к известному интегралу:∫e−xe2x−e−2x  dx=∫e−2x1−e−4x  dx\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{e^{2x}-e^{-2x}}}\;dx = \int \frac{e^{-2x}}{\sqrt{1-e^{-4x}}}\;dxЗанесем числитель по дифференциал и проинтегрируем:∫e−2x1−e−4x  dx=−12∫d(e−2x)1−e−4x=−12arcsin⁡(e−2x)+C\int \frac{e^{-2x}}{\sqrt{1-e^{-4x}}}\;dx =-\frac{1}{2}\int \frac{d(e^{-2x})}{\sqrt{1-e^{-4x}}}=-\frac{1}{2}\arcsin (e^{-2x})+CОстается лишь просуммировать функции для получения ответа.
Демидович № 2122 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика