Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2121

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

Задача 2121

\displaystyle\int\cth^2x\,dx

Ответ:

x-\cth x+C

Решение

Для решения воспользуемся аналогами тригонометрических тождеств, чтобы привести подынтегральную функцию к более удобному виду. Идею для того, как именно преобразовывать, надо брать опираясь на решение аналогичного интеграла с обыкновенным котангенсом.

Воспользуемся тем, что

\ch^2x-\sh^2x=1

Тогда:

\int \cth^2 x\;dx = \int \frac{\ch^2 x}{\sh^2x}\;dx = \int \frac{1+\sh^2 x}{\sh^2x}\;dx = \int \left(1+ \frac{1}{\sh^2x}\right)\;dx

Теперь основную сложность для нас представляет только интеграл от второго слагаемого. Но на самом деле, нужно лишь вспомнить, что

(\cth x)' =-\frac{1}{\sh^2 x}

после чего задача становится тривиальной. Проинтегрируем и запишем ответ.