Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2120

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

Задача 2120

\displaystyle\int\tanh x\,dx

Ответ:

\ln(\ch x)+C

Решение

Так как многие тригонометрические формулы имеют свои аналоги для гиперболических функций, для решения нужно использовать тот же метод, как если бы в подынтегральном выражении стоял обычный тангенс. Напомним, что для этого мы заносили синус под дифференциал. Здесь сделаем то же самое:

\int \th x\;dx = \int \frac{\sh x}{\ch x}\;dx = \int \frac{d(\ch x)}{\ch x} = \ln|\ch x|+C

Так как

\ch x>0

при любом значении

x

, можно убрать модуль из полученной функции.