Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2119

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

Задача 2119

\displaystyle\int\sh x\sh2x\sh3x\,dx

Ответ:

\frac{\ch^3 2x}{6} - \frac{\ch^2 2x}{8} - \frac{\ch 2x}{4}+C

Решение

Вновь для решения будем использовать ту же идею, как если бы у нас были обычные синусы -- упростим подынтегральное выражение с помощью формулы произведения синусов:

\sh x \sh y = \frac{\ch(x+y) - \ch(x-y)}{2}

Нам удобнее всего будет использовать первый и третий множители:

\sh x \sh 3x = \frac{\ch 4x - \ch2x}{2}

Гиперболический косинус

4x

перепишем с помощью формулы двойного угла:

\ch 4x = 2\ch^2 2x-1

В результате всех этих действий исходный интеграл перепишется следующим образом:

\frac{1}{2}\int \left(2\ch^2 2x -\ch 2x-1 \right)\sh 2x\;dx

Остается лишь занести

\sh 2x

под дифференциал:

\frac{1}{4}\int \left(2\ch^2 2x -\ch 2x-1 \right)\;d(\ch 2x)

Этот интеграл находится уже как интеграл от обыкновенного полинома. Остается лишь записать ответ.