Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2118

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

Задача 2118

\displaystyle\int\sh^3x\,dx

Ответ:

\frac{\ch^3x}{3}-\ch x+C

Решение

В отличие от задачи 2117 здесь просто воспользуемся аналогами тригонометрических формул для гиперболических функций. Значит, интеграл надо находить аналогично тому, как бы мы делали это с обыкновенным синусом.

Напомним, что если степень нечетная, то стоит занести один из множителей под дифференциал, а другие заменить, используя основное тригонометрическое тождество. В нашем случае все будет аналогично, если использовать равенства:

\sh^2 x = \ch^2 x-1\quad\text{и}\quad d(\ch x)=\sh x \;dx

Интеграл перепишется следующим образом:

\int \sh^3x \;dx = \int \sh^2x\cdot \sh x \;dx = \int ( \ch^2 x-1)\;d(\ch x)

Последний интеграл уже берется как интеграл от обычного полинома. В результате, получим ответ.