Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2117

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

Задача 2117

\displaystyle\int\ch^4x\,dx

Ответ:

\frac{\sh 4x}{32}+\frac{\sh 2x}{4}+\frac{3}{8}x+C

Решение

Самый простой вариант решения - расписать числитель с помощью бинома Ньютона и проинтегрировать. Мы покажем именно это решение, хотя существуют и другие, например, с применением формулы понижения степени.

\ch^4 x = \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}(e^{4x}+4e^{2x}+6+4e^{-2x}+e^{-4x})

Каждое из слагаемых является табличным интегралом, поэтому посчитаем сразу все выражение:

\frac{1}{16}\int (e^{4x}+4e^{2x}+6+4e^{-2x}+e^{-4x})dx =

=\frac{1}{16}\left(\frac{e^{4x}}{4}+2e^{2x}+6x-2e^{-2x}-\frac{e^{-4x}}{4}\right)+C

Для красивого ответа остается сгруппировать слагаемые, чтобы получить

\sh 2x

\sh 4x