Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2116

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:

\displaystyle\int\sh^2x\ch^2x\,dx

Ответ:

\dfrac{\sh4x}{32}-\dfrac x8+C

Решение

Используем тождества

\sh2x=2\sh x\ch x

\sh^2u=\frac12(\ch2u-1)

. Тогда

\sh^2x\ch^2x=\dfrac14\sh^22x=\dfrac18(\ch4x-1)

Следовательно,

I=\dfrac{\sh4x}{32}-\dfrac x8+C=\dfrac{e^{4x}-e^{-4x}}{64}-\dfrac x8+C