Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1777

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\arctg\sqrt x}{\sqrt x}\cdot\frac{dx}{1+x}

Ответ:

\left(\operatorname{arctg}\sqrt x\right)^2+C, \qquad x>0

Решение

Область определения подынтегральной функции задаётся условием

x>0

. Сначала уберём корень: положим

t=\sqrt x>0

. Тогда

x=t^2, \qquad dx=2t\,dt

Множитель

2t

из

dx

сокращает

\sqrt x=t

в знаменателе. Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\operatorname{arctg}\sqrt x}{\sqrt x} \dfrac{dx}{1+x} &=2\int\dfrac{\operatorname{arctg}t}{1+t^2}\,dt\end{aligned}

Теперь числитель содержит

\operatorname{arctg}t

, а рядом стоит его дифференциал. Сделаем ещё одну замену:

u=\operatorname{arctg}t, \qquad du=\dfrac{dt}{1+t^2}

Следовательно,

2\int u\,du=u^2+C =\left(\operatorname{arctg}\sqrt x\right)^2+C