Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1776

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}

Ответ:

\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C

Решение

Замена корня новой переменной убирает его из знаменателя. Положим

t=\sqrt{1+e^x}

Поскольку

e^x>0

, имеем

t>1

. Из

t^2=1+e^x

следует

e^x=t^2-1

. Дифференцируя это равенство, получаем

e^x\,dx=2t\,dt

, то есть

dx=\dfrac{2t\,dt}{t^2-1}

Затем используем равенство

\dfrac{2}{t^2-1}=\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}

. Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{1+e^x}} &=2\int\dfrac{dt}{t^2-1}=\\ &=\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)dt=\ln\dfrac{t-1}{t+1}+C\end{aligned}

Поскольку

t>1

, отношение

\dfrac{t-1}{t+1}

положительно и модуль не требуется. Возвращаясь к переменной

x

, получаем

\int\dfrac{dx}{\sqrt{1+e^x}} =\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C