Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1775

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{e^{x/2}+e^x}

Ответ:

2\ln\left(1+e^{-\frac{x}{2}}\right) -2e^{-\frac{x}{2}}+C

Решение

Показатели степеней

e^{\frac{x}{2}}

e^x

различаются вдвое, поэтому оба выражения станут степенями одной новой переменной. Положим

t=e^{\frac{x}{2}}, \qquad t>0, \qquad dx=\dfrac{2\,dt}{t}

Тогда

e^x=t^2

, и интеграл принимает вид

\int\dfrac{dx}{e^{\frac{x}{2}}+e^x} =2\int\dfrac{dt}{t^2(1+t)}

Найдём коэффициенты разложения

\dfrac{1}{t^2(1+t)} =\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t^2}+\dfrac{D}{1+t}

Умножим равенство на

t^2(1+t)

и соберём коэффициенты:

1=At(1+t)+B(1+t)+Dt^2 =B+(A+B)t+(A+D)t^2

Отсюда

B=1

A+B=0

A+D=0

, значит,

A=-1

D=1

. Получаем

\dfrac{1}{t^2(1+t)} =-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{1+t}

Следовательно,

\begin{aligned} 2\int\dfrac{dt}{t^2(1+t)} &=2\int\left(-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t^2} +\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\\ &=-2\ln t-\dfrac{2}{t}+2\ln(1+t)+C=\\ &=2\ln\left(1+e^{-\frac{x}{2}}\right) -2e^{-\frac{x}{2}}+C\end{aligned}

Модули в логарифмах не требуются, поскольку

t>0