Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1774

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\ln x\,dx}{x\sqrt{1+\ln x}}

Ответ:

\dfrac{2}{3}(\ln x-2)\sqrt{1+\ln x}+C, \qquad x>e^{-1}

Решение

Поскольку квадратный корень находится в знаменателе, область определения задаётся условием

1+\ln x>0, \qquad x>e^{-1}

В знаменателе стоит

\sqrt{1+\ln x}

, а

\dfrac{dx}{x}=d(\ln x)

. Поэтому положим

u=1+\ln x, \qquad du=\dfrac{dx}{x}

Тогда

\ln x=u-1

, и поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{\ln x\,dx}{x\sqrt{1+\ln x}} &=\int\dfrac{u-1}{\sqrt u}\,du =\int\left(u^{\frac{1}{2}}-u^{-\frac{1}{2}}\right)du=\\ &=\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-2u^{\frac{1}{2}}+C=\\ &=\dfrac{2}{3}\sqrt u\,(u-3)+C=\\ &=\dfrac{2}{3}(\ln x-2)\sqrt{1+\ln x}+C\end{aligned}