Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1773

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin^2x}{\cos^6x}\,dx

Ответ:

\dfrac{\tg^3x}{3}+\dfrac{\tg^5x}{5}+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

\cos x\ne0

. В интеграле выделяется дифференциал

\tg x

, поэтому на каждом промежутке области определения положим

u=\tg x, \qquad du=\dfrac{dx}{\cos^2x}

Один множитель

\dfrac{dx}{\cos^2x}

заменяем на

du

. Оставшийся множитель выражается через

u

по тождеству

\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tg^2x=1+u^2

Получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin^2x}{\cos^6x}\,dx &=\int\tg^2x\,\dfrac{1}{\cos^2x} \dfrac{dx}{\cos^2x}=\\ &=\int u^2(1+u^2)\,du =\int(u^2+u^4)\,du=\\ &=\dfrac{u^3}{3}+\dfrac{u^5}{5}+C\end{aligned}

Следовательно,

\int\dfrac{\sin^2x}{\cos^6x}\,dx =\dfrac{\tg^3x}{3}+\dfrac{\tg^5x}{5}+C

На каждом промежутке между соседними точками

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k

k\in\mathbb Z

, постоянная

C

выбирается независимо.