Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1772

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin x\cos^3x}{1+\cos^2x}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}\ln(1+\cos^2x)-\dfrac{1}{2}\cos^2x+C

Решение

Здесь множитель

\sin x\,dx

отличается только знаком от дифференциала

\cos x

. Поэтому положим

u=\cos x, \qquad du=-\sin x\,dx

Чтобы интегрировать рациональную дробь, выделим целую часть:

u^3=u(1+u^2)-u

. Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin x\cos^3x}{1+\cos^2x}\,dx &=-\int\dfrac{u^3}{1+u^2}\,du=\\ &=-\int\left(u-\dfrac{u}{1+u^2}\right)du=\\ &=-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{1}{2}\ln(1+u^2)+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем

\int\dfrac{\sin x\cos^3x}{1+\cos^2x}\,dx =\dfrac{1}{2}\ln(1+\cos^2x)-\dfrac{1}{2}\cos^2x+C

Модуль в логарифме не требуется, поскольку

1+\cos^2x>0

при всех действительных

x