Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1771

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

Задача 1771

∫cos⁡3x⋅sin⁡x dx\displaystyle\int\cos^3x\cdot\sqrt{\sin x}\,dx.
Ответ:23(sin⁡x)32−27(sin⁡x)72+C\dfrac23(\sin x)^{\frac32}-\dfrac27(\sin x)^{\frac72}+C

Решение

Выделим множитель cos⁡x dx\cos x\,dx и используем cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x. При замене t=sin⁡xt=\sin x имеем dt=cos⁡x dxdt=\cos x\,dx, поэтому∫cos⁡3xsin⁡x dx=∫(1−t2)t dt=∫(t12−t52)dt\int\cos^3x\sqrt{\sin x}\,dx
=\int(1-t^2)\sqrt t\,dt
=\int\left(t^{\frac12}-t^{\frac52}\right)dtИнтегрируя степени, получаем23t32−27t72+C=23(sin⁡x)32−27(sin⁡x)72+C\dfrac23t^{\frac32}-\dfrac27t^{\frac72}+C
=\dfrac23(\sin x)^{\frac32}-\dfrac27(\sin x)^{\frac72}+CПодынтегральная функция действительна при sin⁡x≥0\sin x\ge0. На внутренности каждого соответствующего промежутка формула задаёт первообразную и непрерывно продолжается на его концы.
Демидович № 1771 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика