Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1770

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

Задача 1770

∫x5(2−5x3)2/3 dx\displaystyle\int x^5(2-5x^3)^{2/3}\,dx.
Ответ:−2125(2−5x3)53+1200(2−5x3)83+C-\dfrac{2}{125}(2-5x^3)^{\frac{5}{3}}
+\dfrac{1}{200}(2-5x^3)^{\frac{8}{3}}+C

Решение

Все встречающиеся ниже дробные степени со знаменателем 33 понимаем через вещественный кубический корень:zk3=(z3)k,z∈R,k∈Nz^{\frac{k}{3}}=\bigl(\sqrt[3]{z}\bigr)^k,
\qquad
z\in\mathbb R,
\qquad
k\in\mathbb NПоэтому подынтегральная функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R.

Производная 2−5x32-5x^3 содержит x2x^2. Разобьём x5=x3⋅x2x^5=x^3\cdot x^2: x2 dxx^2\,dx станет дифференциалом новой переменной, а x3x^3 выразится через неё.
Положимu=2−5x3,du=−15x2 dx,x3=2−u5u=2-5x^3,
\qquad
du=-15x^2\,dx,
\qquad
x^3=\dfrac{2-u}{5}Отсюдаx5 dx=x3(x2 dx)=−2−u75 dux^5\,dx=x^3(x^2\,dx)=-\dfrac{2-u}{75}\,duТогда∫x5(2−5x3)23 dx=−175∫(2−u)u23 du==−175∫(2u23−u53)du==−2125u53+1200u83+C==−2125(2−5x3)53+1200(2−5x3)83+C\begin{aligned}
\int x^5(2-5x^3)^{\frac{2}{3}}\,dx
&=-\dfrac{1}{75}\int(2-u)u^{\frac{2}{3}}\,du=\\
&=-\dfrac{1}{75}\int\left(2u^{\frac{2}{3}}-u^{\frac{5}{3}}\right)du=\\
&=-\dfrac{2}{125}u^{\frac{5}{3}}
+\dfrac{1}{200}u^{\frac{8}{3}}+C=\\
&=-\dfrac{2}{125}(2-5x^3)^{\frac{5}{3}}
+\dfrac{1}{200}(2-5x^3)^{\frac{8}{3}}+C
\end{aligned}
Демидович № 1770 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика