Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1769

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

Задача 1769

∫x51−x2 dx\displaystyle\int\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Ответ:−1−x2+23(1−x2)32−15(1−x2)52+C,−1<x<1-\sqrt{1-x^2}
+\dfrac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{1}{5}(1-x^2)^{\frac{5}{2}}+C,
\qquad
-1<x<1

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при −1<x<1-1<x<1.

Производная выражения под корнем 1−x21-x^2 содержит xx. Отделим его от x5=x4⋅xx^5=x^4\cdot x, а оставшуюся степень выразим через 1−x21-x^2. Положимu=1−x2,du=−2x dx,x4=(1−u)2u=1-x^2,
\qquad
du=-2x\,dx,
\qquad
x^4=(1-u)^2Следовательно,x5 dx=x4(x dx)=−(1−u)22 dux^5\,dx=x^4(x\,dx)=-\dfrac{(1-u)^2}{2}\,duТогда∫x51−x2 dx=−12∫(1−u)2u−12 du==−12∫(u−12−2u12+u32)du==−u12+23u32−15u52+C==−1−x2+23(1−x2)32−15(1−x2)52+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
&=-\dfrac{1}{2}\int(1-u)^2u^{-\frac{1}{2}}\,du=\\
&=-\dfrac{1}{2}\int\left(u^{-\frac{1}{2}}-2u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}}\right)du=\\
&=-u^{\frac{1}{2}}
+\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{1}{5}u^{\frac{5}{2}}+C=\\
&=-\sqrt{1-x^2}
+\dfrac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{1}{5}(1-x^2)^{\frac{5}{2}}+C
\end{aligned}
Демидович № 1769 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика