Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1768

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

Задача 1768

∫x22−x dx\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{2-x}}\,dx.
Ответ:−82−x+83(2−x)32−25(2−x)52+C,x<2-8\sqrt{2-x}
+\dfrac{8}{3}(2-x)^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{2}{5}(2-x)^{\frac{5}{2}}+C,
\qquad
x<2

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при x<2x<2.

Положимu=2−x,x=2−u,dx=−duu=2-x,
\qquad
x=2-u,
\qquad
dx=-duПосле замены переменной получаем∫x22−x dx=−∫(2−u)2u−12 du=−∫(4u−12−4u12+u32)du==−8u12+83u32−25u52+C=−82−x+83(2−x)32−25(2−x)52+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2}{\sqrt{2-x}}\,dx
&=-\int(2-u)^2u^{-\frac{1}{2}}\,du=-\int\left(4u^{-\frac{1}{2}}-4u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}}\right)du=\\
&=-8u^{\frac{1}{2}}
+\dfrac{8}{3}u^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}+C=-8\sqrt{2-x}
+\dfrac{8}{3}(2-x)^{\frac{3}{2}}
-\dfrac{2}{5}(2-x)^{\frac{5}{2}}+C
\end{aligned}
Демидович № 1768 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика