Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1767

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x^3(1-5x^2)^{10}\,dx

Ответ:

-\dfrac{(1-5x^2)^{11}}{550} +\dfrac{(1-5x^2)^{12}}{600}+C

Решение

Здесь

x^3\,dx=x^2(x\,dx)

, а производная внутреннего выражения

1-5x^2

пропорциональна

x\,dx

. Поэтому оставшийся множитель

x^2

выразим через новую переменную. Положим

u=1-5x^2, \qquad du=-10x\,dx, \qquad x^2=\dfrac{1-u}{5}

Отсюда

x^3\,dx=x^2(x\,dx)=-\dfrac{1-u}{50}\,du

Тогда

\begin{aligned} \int x^3(1-5x^2)^{10}\,dx &=-\dfrac{1}{50}\int(1-u)u^{10}\,du=\\ &=-\dfrac{1}{50}\int\bigl(u^{10}-u^{11}\bigr)\,du=\\ &=-\dfrac{u^{11}}{550}+\dfrac{u^{12}}{600}+C=\\ &=-\dfrac{(1-5x^2)^{11}}{550} +\dfrac{(1-5x^2)^{12}}{600}+C\end{aligned}