Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1766

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

Задача 1766

\displaystyle\int x^2\sqrt[3]{1-x}\,dx

Ответ:

-\dfrac{3}{4}(1-x)^{\frac{4}{3}} +\dfrac{6}{7}(1-x)^{\frac{7}{3}} -\dfrac{3}{10}(1-x)^{\frac{10}{3}}+C

Решение

Кубический корень определён при всех вещественных значениях аргумента, поэтому подынтегральная функция определена на всей числовой прямой.

Все встречающиеся ниже дробные степени со знаменателем

3

понимаем через вещественный кубический корень:

z^{\frac{k}{3}}=\bigl(\sqrt[3]{z}\bigr)^k, \qquad z\in\mathbb R, \qquad k\in\mathbb N

Положим

u=1-x, \qquad x=1-u, \qquad dx=-du

После замены переменной имеем

\begin{aligned} \int x^2\sqrt[3]{1-x}\,dx &=-\int(1-u)^2u^{\frac{1}{3}}\,du=\\ &=-\int\left(u^{\frac{1}{3}}-2u^{\frac{4}{3}}+u^{\frac{7}{3}}\right)du=\\ &=-\dfrac{3}{4}u^{\frac{4}{3}} +\dfrac{6}{7}u^{\frac{7}{3}} -\dfrac{3}{10}u^{\frac{10}{3}}+C=\\ &=-\dfrac{3}{4}(1-x)^{\frac{4}{3}} +\dfrac{6}{7}(1-x)^{\frac{7}{3}} -\dfrac{3}{10}(1-x)^{\frac{10}{3}}+C\end{aligned}