Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1765

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sh^2x\ch^2x}

Ответ:

F(x)= \begin{cases} -2\operatorname{cth}2x+C_{-}, & x<0,\\ -2\operatorname{cth}2x+C_{+}, & x>0 \end{cases} \qquad C_{-},C_{+}\in\mathbb R

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

, поскольку

\operatorname{sh}x=0

только при

x=0

, а

\operatorname{ch}x\ne0

для всех

x\in\mathbb R

.

Используем тождество

\operatorname{sh}2x=2\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}x

Тогда

\dfrac{1}{\operatorname{sh}^{2}x\,\operatorname{ch}^{2}x} =\dfrac{4}{\operatorname{sh}^{2}2x}

Так как

\bigl(\operatorname{cth}2x\bigr)' =-\dfrac{2}{\operatorname{sh}^{2}2x}

получаем

\int\dfrac{dx}{\operatorname{sh}^{2}x\,\operatorname{ch}^{2}x} =-2\operatorname{cth}2x+C

На каждом из промежутков

(-\infty,0)

(0,+\infty)

постоянная интегрирования выбирается независимо.