Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1764

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\ch x\cdot\ch3x\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{8}\operatorname{sh}4x+\dfrac{1}{4}\operatorname{sh}2x+C

Решение

Произведение удобнее интегрировать после преобразования в сумму. Складывая формулы для

\operatorname{ch}(u+v)

\operatorname{ch}(u-v)

, получаем:

\operatorname{ch}u\,\operatorname{ch}v =\dfrac{\operatorname{ch}(u+v)+\operatorname{ch}(u-v)}{2}

При

u=x

v=3x

имеем

u-v=-2x

. Поскольку гиперболический косинус является чётной функцией,

\operatorname{ch}(u-v)=\operatorname{ch}(-2x)=\operatorname{ch}2x

Поэтому

\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}3x =\dfrac{\operatorname{ch}4x+\operatorname{ch}2x}{2}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}3x\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\bigl(\operatorname{ch}4x+\operatorname{ch}2x\bigr)\,dx=\\ &=\dfrac{1}{8}\operatorname{sh}4x+\dfrac{1}{4}\operatorname{sh}2x+C\end{aligned}