Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1763

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\sh x\sh2x\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{6}\operatorname{sh}3x-\dfrac{1}{2}\operatorname{sh}x+C

Решение

Произведение удобнее интегрировать после преобразования в сумму гиперболических косинусов. Это равенство следует из формул сложения для

\operatorname{ch}(u+v)

\operatorname{ch}(u-v)

\operatorname{sh}u\,\operatorname{sh}v =\dfrac{\operatorname{ch}(u+v)-\operatorname{ch}(u-v)}{2}

При

u=x

v=2x

имеем

u-v=-x

. Поскольку гиперболический косинус является чётной функцией,

\operatorname{ch}(u-v)=\operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x

Поэтому

\operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}2x =\dfrac{\operatorname{ch}3x-\operatorname{ch}x}{2}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}2x\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\bigl(\operatorname{ch}3x-\operatorname{ch}x\bigr)\,dx=\\ &=\dfrac{1}{6}\operatorname{sh}3x-\dfrac{1}{2}\operatorname{sh}x+C\end{aligned}