Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1761

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\sh^2x\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{4}\operatorname{sh}2x-\dfrac{x}{2}+C

Решение

Из формул

\operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x

\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1

получаем формулу понижения степени для гиперболического синуса:

\operatorname{sh}^{2}x=\dfrac{\operatorname{ch}2x-1}{2}

Тогда

\begin{aligned} \int\operatorname{sh}^{2}x\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\bigl(\operatorname{ch}2x-1\bigr)\,dx=\\ &=\dfrac{1}{4}\operatorname{sh}2x-\dfrac{x}{2}+C\end{aligned}