Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1760

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(1+e^x)^2}{1+e^{2x}}\,dx

Ответ:

x+2\operatorname{arctg}(e^x)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Раскроем квадрат в числителе:

\dfrac{(1+e^x)^2}{1+e^{2x}} =1+\dfrac{2e^x}{1+e^{2x}}

Первое слагаемое интегрируем непосредственно, а во втором интеграле положим

t=e^x

, тогда

dt=e^x\,dx

\begin{aligned} \int\dfrac{(1+e^x)^2}{1+e^{2x}}\,dx &=x+2\int\dfrac{e^x\,dx}{1+e^{2x}} =x+2\int\dfrac{dt}{1+t^2}=\\ &=x+2\operatorname{arctg}t+C =x+2\operatorname{arctg}(e^x)+C\end{aligned}