Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1759

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{1+e^x}

Ответ:

x-\ln(1+e^x)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Представим дробь в виде

\dfrac{1}{1+e^x}=1-\dfrac{e^x}{1+e^x}

Числитель второй дроби является производной её знаменателя, поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{1+e^x} &=\int\left(1-\dfrac{e^x}{1+e^x}\right)\,dx =x-\ln(1+e^x)+C\end{aligned}