Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1758

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos^4x}

Ответ:

\tg x+\dfrac13\tg^3 x+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\cos x\ne0

. Положим

t=\tg x, \qquad dt=\dfrac{dx}{\cos^2 x}

Тогда

\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+t^2

. Поэтому

\dfrac{dx}{\cos^4 x} =\dfrac{1}{\cos^2 x}\,\dfrac{dx}{\cos^2 x} =(1+t^2)\,dt

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\cos^4 x} &=\int(1+t^2)\,dt =t+\dfrac13t^3+C=\\ &=\tg x+\dfrac13\tg^3 x+C\end{aligned}