Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1757

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\cos^3x}{\sin x}\,dx

Ответ:

\ln|\sin x|-\dfrac12\sin^2 x+C, \qquad x\ne\pi k, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\sin x\ne0

. Представим

\cos^3 x

в виде

\cos^3 x=\cos x(1-\sin^2 x)

Положим

t=\sin x

, тогда

dt=\cos x\,dx

. Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\cos^3 x}{\sin x}\,dx &=\int\dfrac{1-t^2}{t}\,dt =\int\left(\dfrac{1}{t}-t\right)\,dt=\\ &=\ln|t|-\dfrac12t^2+C =\ln|\sin x|-\dfrac12\sin^2 x+C\end{aligned}