Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1756

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x\cos^3x}

Ответ:

\ln|\tg x|+\dfrac12\tg^2 x+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\sin x\cos x\ne0

. Положим

t=\tg x, \qquad dt=\dfrac{dx}{\cos^2 x}, \qquad dx=\cos^2 x\,dt

Так как

\sin x=t\cos x

\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+t^2

, получаем

\begin{aligned} \dfrac{dx}{\sin x\cos^3 x} &=\dfrac{\cos^2 x\,dt}{t\cos x\cos^3 x} =\dfrac{dt}{t\cos^2 x}=\\ &=\dfrac{1+t^2}{t}\,dt\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin x\cos^3 x} &=\int\left(\dfrac{1}{t}+t\right)\,dt=\\ &=\ln|t|+\dfrac12t^2+C =\ln|\tg x|+\dfrac12\tg^2 x+C\end{aligned}