Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1755

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1755

∫dxsin⁡2xcos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x\cos x}.
Ответ:−1sin⁡x+12ln⁡∣1+sin⁡x1−sin⁡x∣+C,x≠πk2,k∈Z-\dfrac{1}{\sin x}
+\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C,
\qquad x\ne\dfrac{\pi k}{2},
\quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при sin⁡xcos⁡x≠0\sin x\cos x\ne0. Чтобы использовать t=sin⁡xt=\sin x, выделим cos⁡x dx\cos x\,dx в числителе: dxsin⁡2xcos⁡x=cos⁡x dxsin⁡2xcos⁡2x\frac{dx}{\sin^2x\cos x}=\frac{\cos x\,dx}{\sin^2x\cos^2x}. Это допустимо, поскольку cos⁡x≠0\cos x\ne0 в исходной области.
Положимt=sin⁡x,dt=cos⁡x dx,cos⁡2x=1−t2t=\sin x,
\qquad
dt=\cos x\,dx,
\qquad
\cos^2 x=1-t^2Тогда∫dxsin⁡2xcos⁡x=∫dtt2(1−t2)\int\dfrac{dx}{\sin^2 x\cos x}
=\int\dfrac{dt}{t^2(1-t^2)}Разложим дробь. Действительно,1t2+11−t2=1−t2+t2t2(1−t2)=1t2(1−t2)\begin{aligned}
\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{1-t^2}
&=\dfrac{1-t^2+t^2}{t^2(1-t^2)}
=\dfrac{1}{t^2(1-t^2)}
\end{aligned}Кроме того,11−t2=12(11+t+11−t)\dfrac{1}{1-t^2}
=\dfrac12\left(\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1-t}\right)Следовательно,∫dxsin⁡2xcos⁡x=−1t+12ln⁡∣1+t1−t∣+C==−1sin⁡x+12ln⁡∣1+sin⁡x1−sin⁡x∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sin^2 x\cos x}
&=-\dfrac{1}{t}
+\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+C=\\
&=-\dfrac{1}{\sin x}
+\dfrac12\ln\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C
\end{aligned}
Демидович № 1755 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика