Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1754

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x\cos^2x}

Ответ:

\tg x-\ctg x+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\sin x\cos x\ne0

. Так как

\sin^2 x\cos^2 x=\dfrac14\sin^2 2x

В итоге нужен интеграл

\frac{1}{\sin^2(2x)}

. Поскольку

d(\ctg2x)=-\frac{2\,dx}{\sin^2(2x)}

, множитель

4

превратится в

-2\ctg2x

.
Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x} &=4\int\dfrac{dx}{\sin^2 2x} =-2\ctg 2x+C\end{aligned}