Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1753

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1753

\displaystyle\int\sin^23x\sin^32x\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &-\dfrac{3}{16}\cos 2x-\dfrac{3}{64}\cos 4x +\dfrac{1}{48}\cos 6x+\dfrac{3}{128}\cos 8x -\dfrac{1}{192}\cos 12x+C, \qquad x\in\mathbb R\end{aligned}

Решение

Чтобы интегрировать произведение степеней, сначала выразим каждую степень через кратные углы, затем превратим произведения синусов и косинусов в суммы. Формула для куба синуса следует из

\sin3t=3\sin t-4\sin^3t

при

t=2x

. Применим формулы понижения степени:

\sin^2 3x=\dfrac{1-\cos 6x}{2}, \qquad \sin^3 2x=\dfrac{3\sin 2x-\sin 6x}{4}

Также используем формулы произведения тригонометрических функций:

\sin 2x\cos 6x=\dfrac12\left(\sin 8x-\sin 4x\right), \qquad \sin 6x\cos 6x=\dfrac12\sin 12x

Тогда

\begin{aligned} \sin^2 3x\sin^3 2x &=\dfrac18(1-\cos 6x)(3\sin 2x-\sin 6x)=\\ &=\dfrac38\sin 2x+\dfrac{3}{16}\sin 4x -\dfrac18\sin 6x-\dfrac{3}{16}\sin 8x +\dfrac{1}{16}\sin 12x\end{aligned}

Интегрируя почленно, получаем

\begin{aligned} \int\sin^2 3x\sin^3 2x\,dx &=-\dfrac{3}{16}\cos 2x-\dfrac{3}{64}\cos 4x +\dfrac{1}{48}\cos 6x\\ &\quad+\dfrac{3}{128}\cos 8x -\dfrac{1}{192}\cos 12x+C\end{aligned}