Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1752

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\tg^3x\,dx

Ответ:

\dfrac12\tg^2 x+\ln|\cos x|+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

\cos x\ne0

. Представим её в виде

\tg^3 x=\tg x\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\right)

Поскольку

(\tg x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}

(\ln|\cos x|)'=-\tg x

, получаем

\begin{aligned} \int\tg^3 x\,dx &=\int\left(\dfrac{\tg x}{\cos^2 x}-\tg x\right)\,dx=\\ &=\dfrac12\tg^2 x+\ln|\cos x|+C\end{aligned}